Catorze Anys Després (o El Període Tres Implica el Caos)

La història que explicaré avui potser no té molt a veure amb la nostra estada aquí a Estats Units, i és una mica batalleta (em faig gran). Però ho vaig trobar curiós, i suposo que us farà veure com ja fa molts anys que es veia que acabaria essent una rata de recerca... L'anècdota parla de matemàtiques, i hi ha uns quants detalls matemàtics, però els he intentat mantenir al mínim, esperant que si no s'entenen els que hi ha no impedeixin la comprensió de la batalleta.

Per a explicar el què em va passar l'altre dia, cal que em remunti enrera, fins a l'època de l'institut. Era l'any 1998, quan faltava poc per acabar el curs (estava fent 3r de BUP llavors), i el professor de mates, en Toni Castillo (a qui, si per qualsevol cosa llegís aquest text, li envio una abraçada), ens va agafar a classe i va dir que, encara que nosaltres els de ciències ens les haguéssim pintat molt felices durant tot el curs perquè ens havíem estalviat de llegir els clàssics que els havia tocat empassar-se als de lletres, havíem d'evitar caure en el tòpic que la gent de ciències no llegíem. I perquè no perdéssim l'hàbit de lectura i, sobretot, la curiositat per aprendre, ens va dir que amb les notes del finals ens posaria a cadascun uns quants títols de divulgació científica que podíem llegir durant l'estiu.

Total, que va acabar el curs, em van donar les notes, i efectivament al mateix sobre on havia les meves notes del curs hi havia un paper escrit a mà en què en Toni em desitjava un bon estiu i em recomanava tres llibres: Juega Dios a los Dados d'Ian Stewart, Gödel, Escher, Bach de Douglas Hoffstadter, i (d'aquest no n'estic del tot segur, però diria que l'era) La Geometría Fractal de la Naturaleza de Benoît Mandelbrot.

Evidentment, a la meva ment d'adolescent ja per llavors fascinat amb la ciència (de fet, abans de ser un adolescent fascinat per la ciència ja era un nen fascinat per la ciència, així que la cosa ve de lluny) uns títols així sonaven realment com a l'obre't, sèsam de coves on hi hauria enormes tresors de coneixement. Així que no sé si el mateix dia o si més no poc després, vaig anar xino-xano cap a la Biblioteca de Lesseps, que llavors encara ocupava un parell de sales a uns baixos del carrer Torrent de l'Olla, i on no s'havia sentir a parlar de la paraula modernització. Quan demanaves un llibre, la bibliotecària (una dona amb cabell canós i de qui el que més recordo era que sempre duia talons, i els llavis pintats d'una forma que semblaven massa grans per a la cara en què estaven) agafava la targeta que hi havia en una butxaqueta de plàstic a la contraportada, s'hi apuntava el teu número de carnet i la data, i la posava en un calaix de l'armari que tenia rere el mostrador, assumeixo que pulcrament i ordenada per algun tipus codi que pogués tenir el llibre.

Total, que vaig anar a aquell que era el meu temple del saber llavors (encara no havia descobert la Gabriel Ferraté), vaig estar buscant una estona per les llibreries i vaig acabar trobant-me amb que només hi tenien un dels llibres. Evidentment, en aquell moment em vaig sentir una mica decebut; però vist en retrospectiva crec que el que en tinguessin un va ser ja tot un èxit. En concret, a les lleixes hi havia una còpia de Juega Dios a los Dados, entalquinada i folrada en IronFix. El vaig agafar, i després de l'acte d'entrega ritual de la seva targeta a la bibliotecària, vaig sortir amb el llibre sota al braç. Evidentment, vaig arribar a casa, em vaig seure al sofà, i vaig començar a llegir per a fer passar la calor de tarda de Juliol de Barcelona.

Quan vaig començar a passar les primeres pàgines, jo encara no tenia molt clar de què anaria el llibre. Semblava que hi hauria fractals (que era un tema de què ja havia llegit un parell d'anys enrere i ja m'havia cridat l'atenció) i uns tals sistemes dinàmics, de què alguns pel que semblava feien mèrits per a rebre l'apel·latiu de caòtics. I sí, en Ian Stewart en aquell llibre feia una obra de divulgació del tema dels sistemes dinàmics, i de com sistemes relativament senzills sovint acaben donant lloc a comportaments caòtics i a atractors que tenen propietats fractals. Tot això amenitzat amb la història de com es van anar descobrint, i les típiques curiositats i anècdotes que ha de tenir tot bon llibre de divulgació científica.

Com em passava sovint amb llibres d'aquesta mena, a mida que anava llegint m'anava immergint progressivament en el tema, i em fascinava que poguessin existir totes aquelles abstraccions. I, encara que no sempre entenia tot el que s'hi explicava, anava passant pàgines perquè volia saber-ne més i més. I, quan arribava el final, em sentia com després d'una bona novel·la, en què voldries saber què se n'ha fet dels personatges després de l'últim punt-i-final.

La veritat és que era un prou bon llibre, i després de la seva lectura vaig quedar-me amb les intuïcions de tot de conceptes que anys després vaig aprendre amb més profunditat i rigor. A part que em vaig passar tot l'any següent jugant a fer fractals amb un programa que vaig trobar en un CD d'una revista d'informàtica...

En particular, d'entre tots els continguts del llibre, va haver-hi un petit detall que em va cridar molt l'atenció. En un dels capítols, Stewart parlava d'un sistema que rep el nom de mapa logístic, que es podia veure com un model extremadament senzill del creixement d'una població. I descrivia com variant un únic paràmetre del model, el comportament experimentava transicions i esdevenia caòtic a partir d'un cert punt. Això s'il·lustrava amb uns gràfics que eren els diagrames de bifurcació, que tenien naturalesa fractal i on apareixia una nova constant, tan universal com pi o e, que era la constant de Feigenbaum. I per si tot això no fos prou, a la conclusió del capítol l'autor posava la cirera al pastís de tot aquell festí matemàtic, mencionant un article de recerca de títol Period Three Implies Chaos, en què s'explicava com si un cert element té període tres en un sistema així, forçosament havien d'existir altres elements que tenien comportaments caòtics. El període tres implica el caos.

No sé si va ser el fet que aquell article només fos anomenat una mica de passada, i el capítol següent ja parlés d'un tema completament diferent; o si senzillament perquè els autors havien sabut posar-li un nom amb ganxo; però el fet és que passats uns mesos, i deixant de banda els meus jocs amb fractals, una de les coses que més recordava del llibre era Period Three Implies Chaos. En aquella època jo no tenia ni idea de què era un article de recerca, així que m'imaginava un llibre, un volum gruixut amb aquelles paraules gravades al llom, en què els autors glossaven llargament sobre el tema i presentaven el seus resultats. Als meus ulls, la seva proposta havia de ser una una cosa realment revolucionaria en la matemàtica, un cop d'estat contra la tirania de l'ordre creixent dels nombres, i l'establiment d'una nova jerarquia en què el tres estava a l'esglaó més alt. El tres esdevindria una figura quasi-divina, dotat ell entre tots els nombres de la capacitat d'invocar el caos...

I van passar els anys, vaig acabar l'institut i vaig començar la carrera, vaig acabar la carrera i vaig començar el doctorat. I durant tot aquest temps per la UPC vaig afegir moltes més idees fascinants al meu bestiari particular. En aquest sentit, trobar a la Biblioteca Gabriel Ferraté precisament Gödel, Escher, Bach va ajudar força. Podria parlar hores i hores d'aquell llibre i en concret el teorema de Gödel em sembla dels resultats més increïbles que mai no he llegit. Però de tant en tant també pensava en Period Three Implies Chaos, i, a pesar que vaig anar perdent la innocència d'adolescent, que vaig anar entrant en el món de l'enginyeria primer i de la recerca després, i que vaig descobrir el que eren els articles de recerca i fins i tot en vaig escriure, encara me l'imaginava com un tour de force matemàtic, un resultat de què la demostració havia forçosament de requerir pàgines i pàgines. De fet, a mida que aprenia més i més coses també me n'anava trobant més i més que, cada cop més sovint, no era capaç d'entendre. I assumia que Period Three Implies Chaos molt possiblement pertanyia a aquest club; que si mai arribava a trobar l'article, em perdria en una jungla d'àlgebra i anàlisi, i m'adonaria que l'essència d'aquella idea se m'escaparia de les mans cada cop que la intentés copsar.

Però bé, al final també vaig acabar el doctorat (cosa que en alguns moments poca gent hauria dit) i vaig començar a treballar a can Google. I després de tot aquest temps, ara fa uns dies mentre estava a la feina utilitzant el cercador d'articles Google Scholar, va haver-n'hi un que em va fer pensar en processos iteratius. D'aquí vaig fer el salt mental als sistemes dinàmics, al caos... i a Period Three Implies Chaos. I, adonant-me de sobte que en aquell moment en tenia la possiblitat al davant, vaig buscar el títol a l'Scholar, com he faig amb tants altres articles, vaig trobar que estava disponible al repositori de JSTOR, que Google hi tenia accés... i el vaig descarregar. I allà estava, a la finestra del navegador tenia l'article que m'havia imaginat de tantes formes diferents durant tant de temps. Píxels negres sobre píxels blancs a la meva pantalla.

Per a la més gran de les meves sorpreses (o fins i tot amb una punxada de desil·lusió), l'article era força curt, 8 pàgines amb un parell d'il·lustracions força grans, i així d'un primer cop d'ull no s'hi veien fórmules extremadament complexes, i en canvi si que hi havia força narrativa. Així que me'l vaig imprimir, i al bus vaig començar a fullejar-lo. Al final de la segona pàgina començava la secció "The Main Theorem", i a l'inici de la tercera, després de les assumpcions del "Theorem 1", una escueta línia llegia:

T1: For every k = 1, 2, ... there is a periodic point in J having period k.

Per a cada k igual a 1, 2, ... hi ha un punt periòdic a J que té període k. O sigui, el Caos...

I sí, aquella pàgina i la següent contenien tres lemes que acabaven portant a la demostració del teorema a la meitat de la quarta pàgina. La resta de l'article eren altres resultats, apèndix i bibliografia. Els tres lemes utilitzaven anàlisi bàsica, tot just nocions de continuïtat, eren resultats que possiblement hauria pogut entendre amb les matemàtiques de primer de carrera i un parell de tasses de cafè. No hi havia anàlisi avançada, ni una nova aritmètica, ni àlgebres alternatives. El resultat era maco i meritori, precisament per la seva senzillesa, però era tan accessible que clarament es quedava curt per a tota l'expectació que m'hi havia creat al voltant.

Vaig deixar els fulls per allà sobre durant uns dies, me'l vaig tornar a mirar un parell o tres de cops, i al final el vaig arxivar en la carpeta on guardo els tots articles que m'he anat imprimint. Ara és un article més de tota la pila que hi tinc.

La veritat és que mirant enrere em sembla realment sorprenent l'haver trigat tant de temps en fer una cosa tan habitual en mi com és buscar i imprimir un article a la xarxa per a aquest article en concret; i sobretot l'haver mantingut cabòries dels 17 anys fins a ben entrats els 31. Però tampoc no puc evitar somriure perquè això em fa adonar que hi ha una part en mi que segueix essent aquell Edgar del 1998. I crec que si aquest Edgar del passat es trobés l'Edgar del present, veuria que tots dos comparteixen la passió per aprendre i aquella sensació de descobrir un nou tema i pensar més, en vull saber més.